Soit ABC un triangle quelconque et O le centre de son cercle
circonscrit. On note A’, B’ et C’ les milieux respectifs des
segments [BC], [AC] et [AB]. Soit G le centre de gravité du
triangle ABC. Soit H le point tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
1. Construire G, puis rappeler la relation vectorielle qui lie
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
2. Montrer que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Déduire une construction de H.
3. Montrer que l’on a les relations :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′
4. Montrer que H est le point de rencontre des hauteurs du triangle ABC. On l’appelle
orthocentre du triangle ABC.
5. Conclure que O,H et G sont alignés .
Vocabulaire : La droite (OG)=(OH) s’appelle droite d’Euler du triangle ABC.